Question

11．如图，正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面PAB与平面PCD所成的角为45°．

Answer 1

分析 建立以A为原点的空间坐标系，利用向量法求出平面的法向量，即可得到结论．

解答 解：∵正方形ABCD所在平面外有一点P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，
∴建立以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴的空间坐标系如图：
设AB=PA=1，
则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
则$\overrightarrow{PC}$=（1，1，-1），$\overrightarrow{DC}$=（1，0，0），
则$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0）是平面PAB的法向量，
平面PCD的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=x+y-z=0}\\{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{n}=x=0}\end{array}\right.$，
令y=1，则z=1，x=0，即$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
则$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{n}$=1，
则cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞=45°，
故平面PAB与平面PCD所成的角为45°，
故答案为：45°

点评 本题主要考查二面角的求解，建立坐标系，利用向量法是解决二面角的基本方法．