Question

13．如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC，BC=CD，∠BCD=60°．
（Ⅰ）求证：AD⊥BC；
（Ⅱ）再若AB=CB=4，AD=2$\sqrt{3}$，求三棱锥A-BCD的体积．

Answer 1

分析 （I）如图所示，取BC的中点O，连接OD，AD．利用等边三角形与等腰三角形的性质可得：OD⊥BC，OA⊥BC．再利用线面垂直的判定与性质定理即可得出；
（II）又AB=CB=4，AB=AC，可得△ABC是正三角形，进而得到△OAD是正三角形，利用三棱锥A-BCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△OAD}•BC$即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，取BC的中点O，连接OD，AD．
∵BC=CD，∠BCD=60°．∴△BCD是正三角形，
∴OD⊥BC，
又∵AB=AC，∴OA⊥BC．
∵OA∩OD=O，
∴BC⊥平面OAD．
∴AD⊥BC．
（II）解：又AB=CB=4，AB=AC，
∴△ABC是正三角形，
∵△BCD是正三角形，
∴OA=OD=2$\sqrt{3}$，
∴△OAD是正三角形，
∴S_△OAD=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（2\sqrt{3}）^{2}$=3$\sqrt{3}$．
∴三棱锥A-BCD的体积V=$\frac{1}{3}{S}_{△OAD}•BC$=$\frac{1}{3}×3\sqrt{3}×4$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了等边三角形与等腰三角形的性质、线面垂直的判定与性质定理、三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．