Question

5．在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），点B在直线l：x=-1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）过（1）中轨迹E上的点P （1，2）作两条直线分别与轨迹E相交于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过|MA|=|MB|，判断动点M的轨迹E是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，求解即可．（2）利用P （1，2），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）在抛物线y²=4x上，利用平方差法得到直线CD的斜率，设直PC的斜率为k，求出直线PC方程为y-2=k（x-1），与抛物线方程联立，结合韦达定理求解即可．

解答 解：（1）依题意，得|MA|=|MB|…（1分）
∴动点M的轨迹E是以A（1，0）为焦点，直线l：x=-1为准线的抛物线，…（3分）
∴动点M的轨迹E的方程为y²=4x．…（5分）
（2）∵P （1，2），C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）在抛物线y²=4x上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y}_{1}^{2}=4{x}_{1}…①\\{y}_{2}^{2}=4{x}_{2}…②\end{array}\right.$
由①-②得，（y₁+y₂）（y₁-y₂）=4（x₁-x₂），
∴直线CD的斜率为${k_{CD}}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}$，…③…（8分）
设直PC的斜率为k，则PD的斜率为-k，
可设直线PC方程为y-2=k（x-1），由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=kx-k+2\end{array}\right.$得：
ky²-4y-4k+8=0，由$2+{y_1}=\frac{4}{k}$，求得y₁=$\frac{4}{k}$-2，
同理可求得y₂=-$\frac{4}{k}$-2…（12分）
∴${k_{CD}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}=\frac{4}{{（\frac{4}{k}-2）+（-\frac{4}{k}-2）}}=-1$
∴直线CD的斜率为定值-1．…（13分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力．