Question

15．已知函数f（x）=ax³-x²+bx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y=-9．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）记g（x）=f′（x）-kxlnx-k（k为正整数，f′（x）为y=f（x）导函数），曲线y=g（x）上的点都在不等式y＞-6x-4表示的平面区域内，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y=-9，建立方程，求出a，b，即可求f（x）的单调递减区间；
（2）曲线y=g（x）上的点都在不等式y＞-6x-4表示的平面区域内，等价于x²+4x+1-kxlnx+k＞0，构造函数求最值，即可得出结论．

解答 解：（1）∵f（x）=ax³-x²+bx，
∴f′（x）=3ax²-2x+b，
∵曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y=-9，
∴f′（3）=0，f（3）=-9，
∴$\left\{\begin{array}{l}{27a-6+b=0}\\{27a-9+3b=-9}\end{array}\right.$，
∴a=$\frac{1}{3}$，b=-3，
∴f′（x）=（x+1）（x-3），
令f′（x）＜0，可，得-1＜x＜3，
∴f（x）的单调递减区间是（-1，3）；
（2）g（x）=x²-2x-3-kxlnx+k，
∴曲线y=g（x）上的点都在不等式y＞-6x-4表示的平面区域内，等价于x²+4x+1-kxlnx+k＞0，
即x+$\frac{k+1}{x}+4-klnx$＞0，
记φ（x）=x+$\frac{k+1}{x}+4-klnx$，则φ′（x）=$\frac{（x+1）（x-k-1）}{{x}^{2}}$，
由φ′（x）＞0得x＞k+1，
∴φ（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增，
∴φ（x）≥φ（k+1）＞0，
∴k+6-kln（k+1）＞0，
即1+$\frac{6}{k}$-ln（k+1）＞0
记m（x）=1+$\frac{6}{x}$-ln（x+1），则m′（x）=-$\frac{6}{{x}^{2}}-\frac{1}{x+1}$＜0，
∴m（x）在（0，+∞）上单调递减，
∵m（6）=2-ln7＞0，m（7）=$\frac{13}{7}$-ln8＜0，
∴k的最大值为6．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与几何意义，考查函数的最值，正确构造函数是关键．