Question

12．已知点F（1，0），直线l：x=-1，动点P到点F的距离等于它到直线l的距离．
（1）试判断点P的轨迹C的形状，并写出其方程；
（2）若曲线C与直线m：y=x-1相交于A、B两点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）根据点P到点F的距离等于它到直线l的距离，利用抛物线的定义，可得点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，从而可求抛物线方程为y²=4x；
（2）y=x-1代入抛物线方程可得y²-4y-4=0，求出y，即可求△OAB的面积．

解答 解：（1）因为点P到点F的距离等于它到直线l的距离，
所以点P的轨迹C是以F为焦点、直线x=-1为准线的抛物线，
所以方程为y²=4x．
（2）y=x-1代入抛物线方程可得y²-4y-4=0，所以y=2±2$\sqrt{2}$，
所以△OAB的面积为$\frac{1}{2}×1×4\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$．

点评 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查三角形面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．