Question

20．已知数列{a_n}满足a_n+1²-2a_n+1a_n-3a_n²=0，a₂=1，且a_n+1＞a_n，n∈N^*，则{a_n}的前10项和等于（　　）

• A． 6（3¹⁰-1）
• B． $\frac{1}{6}$（3¹⁰-1）
• C． 6（1-3¹⁰）
• D． $\frac{1}{6}$（1-3¹⁰）

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n+1²-2a_n+1a_n-3a_n²=0，因式分解为：（a_n+1-3a_n）（a_n+1+a_n）=0，且a_n+1＞a_n，n∈N^*，可得a_n+1=3a_n，利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+1²-2a_n+1a_n-3a_n²=0，
∴（a_n+1-3a_n）（a_n+1+a_n）=0，且a_n+1＞a_n，n∈N^*，
∴a_n+1=3a_n，
又a₂=1，∴a₁=$\frac{1}{3}$．
∴数列{a_n}是等比数列，首项为$\frac{1}{3}$，公比为3．
∴{a_n}的前10项和=$\frac{\frac{1}{3}（{3}^{10}-1）}{3-1}$=$\frac{1}{6}（{3}^{10}-1）$．
故选：B．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、因式分解方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．