Question

3．已知数列{a_n}中，a₁=a（a＞0），a_na_n+1=4ⁿ（n∈N^*）
（1）当a=1时，求a₂，a₃并猜想a_2n的值；
（2）若数列{a_n}是等比数列，求a的值及a_n；
（3）在（2）的条件下，设b_n=na_n．求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=a（a＞0），a_na_n+1=4ⁿ（n∈N^*），可得当a=1时，a₁•a₂=1×a₂=4，a₂a₃=4²，解得a₂，a₃．由$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=4，可得a_n+2=4a_n，即可得出a_2n．
（2）由于数列{a_n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq²=4²，a＞0，解得q，a．即可得出a_n．
（3）在（2）的条件下，b_n=na_n=$\sqrt{2}n×{2}^{n-1}$，利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得到．

解答 解：（1）∵a₁=a（a＞0），a_na_n+1=4ⁿ（n∈N^*），
∴当a=1时，a₁•a₂=1×a₂=4，解得a₂=4，由a₂a₃=4²，解得a₃=4．
∵$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{4}^{n+1}}{{4}^{n}}$=4，∴a_n+2=4a_n，可得a_2n=4ⁿ．
（2）∵数列{a_n}是等比数列，设公比为q，则a•aq=4，aq•aq²=4²，a＞0，解得q=2，a=$\sqrt{2}$．
∴a_n=$\sqrt{2}×{2}^{n-1}$．
（3）在（2）的条件下，b_n=na_n=$\sqrt{2}n×{2}^{n-1}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$\sqrt{2}$[1+2×2+3×2²+…+n×2^n-1]，
2S_n=$\sqrt{2}[2+2×{2}^{2}+3×{2}^{3}+$…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ]，
∴-S_n=$\sqrt{2}$（1+2+2²+…+2^n-1-n×2ⁿ）=$\sqrt{2}$$（\frac{{2}^{n}-1}{2-1}-n×{2}^{n}）$=$\sqrt{2}（{2}^{n}-1-n×{2}^{n}）$，
∴S_n=$\sqrt{2}[（n-1）×{2}^{n}+1]$．

点评 本题考查了递推式的应用、“错位相减法”、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．