Question

1．如图，从椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F₁，又点A是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由椭圆方程，可得A，B，P的坐标，再由直线平行的条件：斜率相等，结合离心率公式，计算即可得到．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，可得A（a，0），B（0，b），F₁（-c，0），
设P（-c，y），则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，可取P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
由AB∥OP，则k_AB=k_OP，
即为-$\frac{b}{a}$=-$\frac{{b}^{2}}{ac}$，
即为b=c，
则a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$=$\sqrt{2}$c，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选C．

点评 本题主要考查椭圆的离心率的求法，同时考查直线平行的条件：斜率相等，考查运算能力，属于中档题．