Question

11．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=$\frac{5}{3}$，S₁₀=40．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1（n∈N^*），求数列{b_n}的前2n项的和T_2n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₂=$\frac{5}{3}$，S₁₀=40计算即得结论；
（Ⅱ）通过b_n=（-1）ⁿ⁺¹a_na_n+1（n∈N^*）写出T_2n的表达式，利用相邻两项的差为定值提取公因式计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
则$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=\frac{5}{3}}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=40}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{d=\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
故a_n=1+$\frac{2}{3}$（n-1）=$\frac{2}{3}$n+$\frac{1}{3}$；
（Ⅱ）T_2n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+a_2na_2n+1
=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2n（a_2n-1a_2n+1）
=-$\frac{4}{3}$（a₂+a₄+a₆+…+a_2n）
=-$\frac{4}{9}$（2n²+3n）．

点评 本题考查求数列的通项、前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．