Question

20．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（0，3），离心率e=$\frac{4}{5}$．
（1）求椭圆方程；
（2）若直线l：y=kx-3与椭圆交于不同的两点M，N．若满足|AM|=|AN|，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a=5，b=3，即可得到椭圆方程；
（2）联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，求得线段MN的中点P的坐标，再由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，运用直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到k，进而得到直线方程．

解答 解：（1）由一个顶点为A（0，3），离心率e=$\frac{4}{5}$，
可得b=3，$\frac{c}{a}$=$\frac{4}{5}$，a²-b²=c²，
解得a=5，c=4，
即有椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1；
（2）由|AM|=|AN|知点A在线段MN的垂直平分线上，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-3}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1}\end{array}\right.$，消去y得（9+25k²）x²-150kx=0，
由k≠0，得方程的△=（-150k）²＞0，即方程有两个不相等的实数根．
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），线段MN的中点P（x₀，y₀），
则x₁+x₂=$\frac{150k}{9+25{k}^{2}}$，∴x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{75k}{9+25{k}^{2}}$，
∴y₀=kx₀-3=-$\frac{27}{9+25{k}^{2}}$，即P（$\frac{75k}{9+25{k}^{2}}$，-$\frac{27}{9+25{k}^{2}}$），
∵k≠0，∴直线AP的斜率为k₁=-$\frac{\frac{-27}{9+25{k}^{2}}-3}{\frac{75k}{9+25{k}^{2}}}$=-$\frac{25{k}^{2}+18}{25k}$，
由AP⊥MN，得-$\frac{25{k}^{2}+18}{25k}$=-$\frac{1}{k}$，
∴25k²=7，解得：k=±$\frac{\sqrt{7}}{5}$，
即有直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{7}}{5}$x-3．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的运用和方程的运用．联立直线方程，运用韦达定理，同时考查直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于中档题．