Question

17．若动点M到点A（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，则点M的轨迹方程为y²=4x，若动点M到点A（1，0）与点B（2，0）的距离比为1：2，则点M的轨迹方程为x²+y²-$\frac{4}{3}$x=0．

Answer 1

分析 由抛物线的定义可得，轨迹是以点A（-2，0）为焦点，以直线x=2为准线的抛物线，写出抛物线方程．设出M的坐标，直接由M与两个定点点A（1，0）与点B（2，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$列式整理得方程．

解答 解：第一个空：在平面直角坐标系xOy中，到点A（1，0）和到直线x=-1距离相等的动点的轨迹是以点A（1，0）为焦点，
以直线x=-1为准线的抛物线，p=2，故抛物线方程为 y²=4x；
第二个空：设M（x，y），由点M与两个定点点A（1，0）与点B（2，0）的距离之比为$\frac{1}{2}$，得
$\frac{\sqrt{（{x-1）}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{{（x-2）}^{2}+{y}^{2}}}$=$\frac{1}{2}$，整理得：x²+y²-$\frac{4}{3}$x=0．
∴点M的轨迹方程是：x²+y²-$\frac{4}{3}$x=0．
故答案为：y²=4x；x²+y²-$\frac{4}{3}$x=0．

点评 本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断轨迹是以点A（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，是解题的关键，同时考查距离公式的应用．