Question

7．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），且椭圆上存在点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直．
（1）求椭圆离心率e的取值范围；
（2）若直线PF₁与椭圆的另一个交点为Q，当e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且|QF₂|=5$\sqrt{2}$时，求椭圆方程．

Answer 1

分析 （1）由△PF₁F₂是直角三角形，可得以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，可得c≥b，利用a，b，c的关系及其离心率计算公式即可得出．
（2）由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得b=c，点P（0，b），因此直线PQ方程为：y=x+c，则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，联立解得Q$（-\frac{4}{3}c，-\frac{1}{3}c）$．利用|QF₂|=$5\sqrt{2}$，解得c即可得出．

解答 解：（1）∵△PF₁F₂是直角三角形，
∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，∴c≥b，
∴c²≥a²-c²，解得$\frac{\sqrt{2}}{2}≤\frac{c}{a}$，又$\frac{c}{a}$＜1，
∴e∈$[\frac{\sqrt{2}}{2}，1）$．
（2）由e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴a²=2c²，b=c．
∴|OP|=b，
设点P（0，b），直线PQ的斜率k=1，设直线PQ的方程为：y=x+c，
则椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{c}^{2}}=1$，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+c}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=c}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{4}{3}c}\\{y=-\frac{1}{3}c}\end{array}\right.$，
∴Q$（-\frac{4}{3}c，-\frac{1}{3}c）$．
∴|QF₂|=$\sqrt{（c+\frac{4}{3}c）^{2}+（\frac{1}{3}c）^{2}}$=$5\sqrt{2}$，解得c=3，
∴b=3，a²=18，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{18}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆及圆的相交问题、两点之间的距离公式等基础知识与基本技能，考查了推理能力与计算能力，属于难题．