Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥PD，AD⊥CD，PA=PD，AD∥BC，AB=AD=2BC=2，E是棱PD的中点，设二面角P-AD-B的值为θ．
（Ⅰ）当θ=$\frac{π}{2}$时，求证：AP⊥CE；
（Ⅱ）当θ=$\frac{π}{6}$时，求二面角P-AB-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点O，连结PO，证明CD⊥平面PAD，可得CD⊥AP，再证明PA⊥平面PCD，即可证明AP⊥CE；
（Ⅱ）当θ=$\frac{π}{6}$时，建立坐标系，求出平面PAB的法向量、平面ABCD的法向量，即可求二面角P-AB-D的余弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AD的中点O，连结PO，则
∵PA=PD，O为AD中点，∴PO⊥AD．
又二面角P-AD-B的值为$\frac{π}{2}$，
∴PO⊥面ABCD，∴PO⊥CD，
∴CD⊥AD．
∵AD∩PO=O，
∴CD⊥平面PAD．            …（2分）
又AP?平面PAD，∴CD⊥AP．  …（4分）
又PA⊥PD，
∵PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PCD．
∴AP⊥CE．                     …（7分）
（Ⅱ）解：由题意知：∠POB=$\frac{π}{6}$．
如图，建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（0，-1，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），D（0，1，0），P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{1}{2}$）．    …（9分）
∴$\overrightarrow{BP}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x+y=0}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．…（11分）
而平面ABCD的法向量为$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）．              …（12分）
设二面角P-AB-D的平面角为α．
则cosα=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．…（14分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查二面角的平面角，考查向量方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．