Question

2．在平面直角坐标系中，已知：A（3，0），B（0，4），O为坐标原点，以点P为圆心的圆P半径为1．
①点P 坐标为P（1，2），试判断圆P与△OAB三边的交点个数；
②动点P在△OAB内运动，圆P与△OAB的三边有四个交点，求P点形成区域的面积．

Answer 1

分析 ①求出直线AB的方程，判断圆P与直线AB相交，点P坐标为P（1，2），圆P与OB相切，与OA相离，即可得出结论；
②取一个满足条件的圆，然后再找临界状况，第一种临界：与三边相切，即三角形内三条蓝色的直线；第二种临界：圆只与三角形的一个角相交，有两个顶点，即图内三个，

解答 解：①直线AB的方程为4x+3y-12=0，P到AB的距离为$\frac{|4+6-12|}{5}$=$\frac{2}{5}$＜1，
∴圆P与直线AB相交，
点P坐标为P（1，2），圆P与OB相切，与OA相离，
∴圆P与△OAB三边的交点个数为3个；
②直线AB的方程为4x+3y-12=0，当x=1时，y=$\frac{8}{3}$
这样上方的平行四边形的面积为$\frac{5}{3}$；
当y=1时，x=$\frac{9}{4}$，
这样右方的平行四边形的面积为$\frac{5}{4}$；
正方形面积为1，三个扇形正好为半径为1的半圆
∴最终结果为三个四边形面积之和减去半圆，
即面积为$\frac{47-6π}{12}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．