Question

14．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=$\frac{2}{3}$，q=$\frac{1}{3}$
（1）求出数列{a_n}的通项公式a_n和前n项和S_n
（2）若b_n=3n+log₃（3-S_n），求数列{$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₂=$\frac{2}{3}$，q=$\frac{1}{3}$可得首项和公比，计算即得结论；
（2）通过（1）可知b_n=2n+1，通过对$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$分离分母，并项相加即得结论．

解答 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q，
由a₂=$\frac{2}{3}$，q=$\frac{1}{3}$可得：a₁=2，q=$\frac{1}{3}$，
∴a_n=$2•\frac{1}{{3}^{n-1}}$，
S_n=$\frac{2（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$）；
（2）由（1）可知S_n=3（1-$\frac{1}{{3}^{n}}$），
∴b_n=3n+log₃（3-S_n）=2n+1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}{b}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$），
∴T_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{7}$+$\frac{1}{7}$-$\frac{1}{9}$+…+$\frac{1}{2n+1}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{2n+3}$）
=$\frac{n}{6n+9}$．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，分离分母、利用并项相加法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．