Question

12．已知△ABC三顶点均在双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为-1；又AB、BC、AC的中点分别为M、N、P，O为坐标原点，直线OM、ON、OP的斜率分别为k₁，k₂，k₃且均不为0，则$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 设出A．B．C，M．N．P的坐标，利用点差法，确定三条边所在直线的斜率，结合直线AB，BC，AC的斜率之和为-1，求得$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$的值．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
M（s₁，t₁），N（s₂，t₂），P（s₃，t₃），
由：2x₁²-y₁²=4，2x₂²-y₂²=4，两式相减，
得到2（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
x₁+x₂=2s₁，y₁+y₂=2t₁，k₁=$\frac{{t}_{1}}{{s}_{1}}$，
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2•$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=2•$\frac{{s}_{1}}{{t}_{1}}$=$\frac{2}{{k}_{1}}$；
同理可得，k_BC=2•$\frac{{s}_{2}}{{t}_{2}}$=$\frac{2}{{k}_{2}}$；
k_AC=2•$\frac{{s}_{3}}{{t}_{3}}$=$\frac{2}{{k}_{3}}$．
由三边AB、BC、AC所在的直线的斜率均存在且均不为0，其和为-1，
即有k_AB+k_BC+k_AC=$\frac{2}{{k}_{1}}$+$\frac{2}{{k}_{2}}$+$\frac{2}{{k}_{3}}$=-1，
则$\frac{1}{{k}_{1}}$+$\frac{1}{{k}_{2}}$+$\frac{1}{{k}_{3}}$=-$\frac{1}{2}$．
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要考查点差法求斜率，考查运算能力，属于中档题．