Question

20．已知F₁，F₂为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（3＞b＞0）的左右两个焦点，若存在过焦点F₁，F₂的圆与直线x+y+2=0相切，则椭圆离心率的最大值为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 通过题意可过焦点F₁，F₂的圆的方程为：x²+（y-m）²=m²+c²，利用该圆与直线x+y+2=0相切、二次函数的性质及离心率公式，计算即得结论．

解答 解：由题可知过焦点F₁，F₂的圆的圆心在y轴上，
设方程为：x²+（y-m）²=m²+c²，
∵过焦点F₁，F₂的圆与直线x+y+2=0相切，
∴d=r，即$\sqrt{{m}^{2}+{c}^{2}}$=$\frac{|m+2|}{\sqrt{1+1}}$，
解得：c²=-$\frac{{m}^{2}}{2}$+2m+2，
∴当c最大时e最大，
而-$\frac{{m}^{2}}{2}$+2m+2=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+4≤4，
∴c的最大值为2，
∴e的最大值为$\frac{2}{3}$，
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查求椭圆的离心率、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．