Question

15．已知椭圆的两焦点是F₁（-1，0），F₂（1，0），离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆方程；
（2）若P在椭圆上，且|PF₁|-|PF₂|=1，求cos∠F₁PF₂．

Answer 1

分析 （1）由题意设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），可得c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，解得即可得出．
（2）由|PF₁|-|PF₂|=1，|PF₁|+|PF₂|=4，联立解得|PF₁|，|PF₂|．在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$，即可得出．

解答 解：（1）由题意设椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
∵椭圆的两焦点是F₁（-1，0），F₂（1，0），离心率e=$\frac{1}{2}$．
∴c=1，$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，又a²=b²+c²，解得a=2，b²=3．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）∵|PF₁|-|PF₂|=1，|PF₁|+|PF₂|=4，
联立解得|PF₁|=$\frac{5}{2}$，|PF₂|=$\frac{3}{2}$．
在△PF₁F₂中，由余弦定理可得：cos∠F₁PF₂=$\frac{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}-|{F}_{1}{F}_{2}{|}^{2}}{2|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$=$\frac{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}-{2}^{2}}{2×\frac{5}{2}×\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．