Question

18．设数列{a_n}满足a_n+1+a_n-1≤2a_n（n∈N^*，n≥2），则称数列{a_n}为凸数列，已知等差数列{b_n}的公差为lnd，首项b₁=2，且数列{$\frac{{b}_{n}}{n}$}为凸数列，则d的取值范围是（　　）

• A． （0，e²]
• B． [e²，+∞）
• C． （2，e²]
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 等差数列{b_n}的公差为lnd，首项b₁=2，可得b_n，$\frac{{b}_{n}}{n}$=$\frac{2-lnd}{n}$+lnd．由数列{$\frac{{b}_{n}}{n}$}为凸数列，可得$\frac{2-lnd}{n+1}+lnd+\frac{2-lnd}{n-1}+lnd$≤2$（\frac{2-lnd}{n}+lnd）$，化简整理解出即可．

解答 解：∵等差数列{b_n}的公差为lnd，首项b₁=2，
∴b_n=2+（n-1）lnd．
∴$\frac{{b}_{n}}{n}$=$\frac{2-lnd}{n}$+lnd，
∵数列{$\frac{{b}_{n}}{n}$}为凸数列，
∴$\frac{2-lnd}{n+1}+lnd+\frac{2-lnd}{n-1}+lnd$≤2$（\frac{2-lnd}{n}+lnd）$，
化为（2-lnd）$（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n}）$≤0，
∴2-lnd≤0，
解得d≥e²．
故选：B．

点评 本题考查了新定义、等差数列的通项公式、对数函数的单调性、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．