Question

8．已知tanα，tanβ是关于x的方程x²+（log_aM+log_bM）x-log_aM•log_bM=0两个根，其中a，b，M均不为1的正数，若sinαcosβ+cosαsinβ=2sinαsinβ，则a，b，M满足的关系是（　　）

• A． $\frac{a+b}{2}$=M
• B． $\sqrt{ab}$=M
• C． a+b=M
• D． ab=M

Answer 1

分析 根据韦达定理，得到tanαt+anβ=-（log_aM+log_bM）=-log_aM•log_bMlog_Mab，tanαtanβ=-log_aM•log_bM，再根据三角形函数的化简得到tanα+tanβ=2tanαtanβ，计算即可

解答 解：∵sinαcosβ+cosαsinβ=2sinαsinβ，
∴tanα+tanβ=2tanαtanβ，
∵tanα，tanβ是关于x的方程x²+（log_aM+log_bM）x-log_aM•log_bM=0的两个根，
∴tanαt+anβ=-（log_aM+log_bM）=-log_aM•log_bMlog_Mab，tanαtanβ=-log_aM•log_bM，
∴-log_aM•log_bMlog_Mab=-2log_aM•log_bM，
∴log_Mab=2，
∴$\sqrt{ab}$=M，
故选：B．

点评 本题考查了韦达定理和三角函数的化简，属于基础题．