Question

17．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的两条渐近线与以椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左焦点为圆心、半径为$\frac{16}{5}$的圆相切，则双曲线的离心率为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{6}{5}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，求出圆的圆心坐标，利用圆心到直线的距离等于半径求解关系式，即可得到双曲线的离心率．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左焦点为圆心（-4，0），双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的两条渐近线为：y=±$\frac{3}{a}$x，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1（a＞0）的两条渐近线与以椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的左焦点为圆心、半径为$\frac{16}{5}$的圆相切，
可得：$\frac{\left|\frac{12}{a}\right|}{\sqrt{1+{（\frac{3}{a}）}^{2}}}=\frac{16}{5}$，
解得a=$\frac{9}{4}$，
c=$\sqrt{\frac{81}{16}+9}$=$\frac{15}{4}$．
双曲线的离心率为：$\frac{\frac{15}{4}}{\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查圆的方程的应用，椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．