Question

6．如图，抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F为圆x²+（y-1）²=1的圆心．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+2交圆F于A，B两点，线段AB的中点为M，直线MF交抛物线C于P，Q两点，且|PQ|=16|AB|，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出圆的圆心坐标，然后得到p=2，即可求抛物线方程．
（Ⅱ）求出圆心F到直线AB的距离，求出AB，通过直线PQ垂直于直线AB，求出PQ方程代入x²=4y，设点P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），通过韦达定理结合已知条件，即可求出k的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意圆x²+（y-1）²=1的圆心（0，1），可得F（0，1），
∴p=2，故所求抛物线方程是x²=4y．…（4分）
（Ⅱ）圆心F到直线ABy=kx+2的距离是$\frac{1}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$，所以$|{AB}|=2\sqrt{\frac{k^2}{{1+{k^2}}}}$．…（7分）
直线PQ垂直于直线AB，方程为x=-k（y-1）．…（9分）
代入x²=4y，消去x可化为k²y²-（2k²+4）y+k²=0
设点P，Q的坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），则${y_1}+{y_2}=\frac{{2{k^2}+4}}{k^2}$．…（11分）
又因为直线PQ经过焦点，所以$|{PQ}|={y_1}+{y_2}+2=\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}$．…（13分）
由已知可得$\frac{{4{k^2}+4}}{k^2}=32\sqrt{\frac{k^2}{{1+{k^2}}}}$，得$\sqrt{\frac{k^2}{{1+{k^2}}}}=\frac{1}{2}$，故$k=±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（15分）

点评 本题考查直线与圆锥曲线方程的综合应用，抛物线方程的求法，圆的圆心坐标以及切割线定理的应用，考查分析问题解决问题的能力．