Question

16．某公司招聘员工，初试设置计算机、礼仪、专业技能、基本素质共四个科目的考试，要求专业技能、基本素质都要合格，且计算机、礼仪至少有一门合格，则能取得参加复试的资格，现有甲、乙、丙三个人参加初试，每一个人对这四门考试是否合格相互独立，其合格的概率均相同（见表），且每一门课程是否合格相互独立．

科目	基本素质	专业技能	计算机	礼仪
合格的概率	$\frac{2}{3}$	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$

（1）求乙取得参加复试的资格的概率；
（2）记ξ表示三个人中取得复试的资格的人数，求ξ的分布及期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）分别记甲对这四门科目考试合格为事件A，B，C，D，“乙能取得参加复赛的资格”的概率为P（ABC$\overline{D}$）+P（$AB\overline{C}D$）+P（ABCD），由事件A，B，C，D相互独立能求出结果．
（2）由题设知ξ的所有可能取值为0，1，2，3由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答 解：（1）分别记乙对这四门科目考试合格为事件A，B，C，D，且事件A，B，C，D相互独立，
记“乙能取得参加复赛的资格”的事件为M，则P（M）=P（ABC$\overline{D}$）+P（$AB\overline{C}D$）+P（ABCD）
=$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{3}{4}$+$\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{4}$$+\frac{2}{3}×\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{4}$=$\frac{1}{4}$；
（2）由题意可得，ξ=0，1，2，3；
则ξ～B（3，$\frac{1}{4}$），
∴ξ的分布列为P（ξ=k）=${C}_{3}^{k}（\frac{1}{4}）^{k}（\frac{3}{4}）^{3-k}$（k=0，1，2，3），
Eξ=$3×\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是历年高考的必考题型之一，是中档题