Question

5．已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（-∞，0]时，f（x）=-xlg（2^m-x+$\frac{1}{2}$）．当x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，则m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，1]
• C． [0，+∞）
• D． [-1，+∞）

Answer 1

分析 由题意，当x∈（-∞，0）时，f（x）=-xlg（2^m-x+$\frac{1}{2}$）＞0恒成立；从而化为最值问题，从而解得．

解答 解：∵f（x）是R上的奇函数，
又∵当x＞0时，不等式f（x）＜0恒成立，
∴当x∈（-∞，0）时，f（x）=-xlg（2^m-x+$\frac{1}{2}$）＞0恒成立；
∴2^m-x+$\frac{1}{2}$＞1在（-∞，0）上恒成立；
∴2^m＞$\frac{1}{2}$+x在（-∞，0）上恒成立；
故2^m≥$\frac{1}{2}$，
故m≥-1．
故选：D．

点评 本题考查了函数的性质的应用及恒成立问题与最值问题，属于中档题．