Question

20．设直线x-3y+m=0（m≠0）与双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B，若点P（-m，0）满足|PA|=|AB|，则该双曲线的渐近线方程为y=±x．

Answer 1

分析 先求出A，B的坐标，可得AB中点坐标，利用点P（-m，0）满足|PA|=|PB|，可得$\frac{\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}+m}$=-3，从而可求双曲线的渐近线方程．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，则
与直线x-3y+m=0联立，可得A（$\frac{ma}{3b-a}$，$\frac{mb}{3b-a}$），B（-$\frac{ma}{3b+a}$，$\frac{mb}{3b+a}$），
∴AB中点坐标为（$\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}$，$\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}$），
∵点P（-m，0）满足|PA|=|PB|，
∴$\frac{\frac{3m{b}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}-0}{\frac{m{a}^{2}}{9{b}^{2}-{a}^{2}}+m}$=-3，
∴a=b，
∴双曲线的渐近线方程为y=±x．
故答案为：y=±x．

点评 本题考查双曲线的渐近线方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．