Question

10．椭圆 $\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1内一点P（4，2），过点P的弦AB恰好被点P平分，则直线AB的方程为x+2y-8=0．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．可得由中点坐标公式可得4=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，又k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．将A，B坐标代入椭圆方程，相减即可得到直线AB的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求直线方程．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由中点坐标公式可得，4=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=2，
又k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
∵$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{9}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{36}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{9}$=1．
∴两式相减可得，$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）（{x}_{1}-{x}_{2}）}{36}$+$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0．
∴$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{9}$+$\frac{2（{y}_{1}-{y}_{2}）}{9}$=0，
解得k_AB=-$\frac{1}{2}$．
∴直线AB的方程为y-2=-$\frac{1}{2}$（x-4），化为x+2y-8=0．
故答案为：x+2y-4=0．

点评 本题考查了“点差法”、中点坐标公式、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．