Question

5．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC的顶点A（-5，0），C（5，0），顶点B在椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{11}$=1，则$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{6}{5}$．

Answer 1

分析 首先根据所给的椭圆的方程写出椭圆的长轴的长，两个焦点之间的距离，根据正弦定理得到角的正弦值之比就等于边长之比，把边长代入，得到比值．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的a=6，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{36-11}$=5，
△ABC的顶点A（-5，0），C（5，0），即为椭圆的两焦点，
由椭圆定义可得，AB+CB=2a=12，
又AC=10，
由正弦定理知$\frac{sinA+sinC}{sinB}$=$\frac{BC+AB}{AC}$=$\frac{12}{10}$=$\frac{6}{5}$，
故答案为：$\frac{6}{5}$．

点评 本题考查椭圆的性质和正弦定理的应用，解题的关键是把角的正弦值之比写成边长之比，进而和椭圆的参数结合起来，需注意特殊点的“巧合”．