Question

20．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁a₂…a_n=${2}^{{b}_{n}-n}$，若{a_n}为等比数列，且a₁=1，b₂=b₁+2
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）设c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过代入计算可得b₁、a₂的值，利用等比数列的通项公式即得a_n=2^n-1；通过a₁a₂…a_n=${2}^{{b}_{n}-n}$，利用指数幂的运算性质即得b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（Ⅱ）通过a_n=2^n-1，b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$可得c_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）有题意可知：a₁=${2}^{{b}_{1}-1}$，
∵a₁=1，∴b₁=1，∴b₂=1+2=3，
又∵a₁a₂=${2}^{{b}_{2}-2}$，∴a₂=2，
∵{a_n}为等比数列，
∴公比q=2，∴a_n=2^n-1；
又∵a₁a₂…a_n=${2}^{{b}_{n}-n}$，
∴2⁰•2¹•2²•…•2^n-1=${2}^{{b}_{n}-n}$，
∴b_n=n+[0+1+2+3+…+（n-1）]=$\frac{n（n+1）}{2}$；
（Ⅱ）∵a_n=2^n-1，b_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴c_n=$\frac{1}{{a}_{n}}+\frac{1}{{b}_{n}}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+$\frac{2}{n（n+1）}$=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=[1+$\frac{1}{2}$+…+$（\frac{1}{2}）^{n-1}$]+2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$+2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=2-$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+2-$\frac{2}{n+1}$
=4-$\frac{2}{n+1}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查求数列的通项及前n项和，注意解题方法的积累，属于中档题．