Question

17．椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过F₁的直线交椭圆于A，B两点，且△ABF₂的周长为8$\sqrt{2}$，圆N：x²+（y-1）²=1在椭圆M内部，且与其相切．
（1）求椭圆M的方程；
（2）设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N的任意一条直径（E、F为直径的两个端点），求$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，AB+AF₂+BF₂=AF₁+BF₁+AF₂+BF₂=4a，可求a，由圆N：x²+（y-1）²=1在椭圆M内部，且与其相切，可求b，进而可求椭圆M的方程；
（2）由题意可得N（0，1）设P（x，y），$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$（\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$=$（-\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-{\overrightarrow{NF}}^{2}$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-1$，代入向量的坐标表示，结合y的范围可求．

解答 解：（1）由题意可得，AB+AF₂+BF₂=AF₁+BF₁+AF₂+BF₂=4a=8$\sqrt{2}$，
∴$a=2\sqrt{2}$，
∵圆N：x²+（y-1）²=1在椭圆M内部，且与其相切，
∴b=2；
∴椭圆M的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
（2）由题意可得N（0，1）设P（x，y），
则$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$ 即x²=8-2y²，
${\overrightarrow{NP}}^{2}$=x²+（y-1）²=8-2y²+（y-1）²=-y²-2y+9=-（y+1）²+10
$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PF}$=$（\overrightarrow{NE}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$=$（-\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）•（\overrightarrow{NF}-\overrightarrow{NP}）$，
=${\overrightarrow{NP}}^{2}-{\overrightarrow{NF}}^{2}$=${\overrightarrow{NP}}^{2}-1$=-（y+1）²+9（*）
∵y∈[-2，2]，
当y=-1时，（*）取得最大值9，当y=2时，（*）取得最小值0，
∴0≤$\overrightarrow{PE}$•$\overrightarrow{PF}$≤9．

点评 本题考查利用椭圆的定义求解椭圆方程，椭圆性质的应用，解题的关键 是灵活利用基本性质．