Question

14．如图，已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，F₁、F₂为其左、右焦点，过F₁的直线l交椭圆于A、B两点，△F₁AF₂的周长为$2（\sqrt{2}+1）$．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的半焦距为c，利用离心率以及△F₁AF₂的周长，解得a，c，然后求解椭圆的标准方程．
（2）设直线l的方程为：x=ky-1，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，消x，整理得：（k²+2）y²-2ky-1=0求出A，B的纵坐标，表示出三角形的面积公式，化简整理，通过基本不等式求出最值．
说明：若设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0），则$x=\frac{1}{k}y-1$，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，方法与前边的求解相同．

解答 解：（1）设椭圆的半焦距为c，则$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，由题意知 $2（{a+c}）=2（{\sqrt{2}+1}）$，
二者联立解得$a=\sqrt{2}$，c=1，则b²=1，所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…．（6分）
（2）设直线l的方程为：x=ky-1，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，消x，整理得：（k²+2）y²-2ky-1=0，△=（-2k）²+4（k²+2）=8k²+8＞0，${y_1}=\frac{{2k+\sqrt{8{k^2}+8}}}{{2（{{k^2}+1}）}}$，${y_2}=\frac{{2k-\sqrt{8{k^2}+8}}}{{2（{{k^2}+1}）}}$，…（10分）
所以${S_{△AOB}}={S_{△AOF}}+{S_{△BOF}}=\frac{1}{2}|{O{F_1}}||{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}\frac{{\sqrt{8{k^2}+8}}}{{{k^2}+2}}$=$\sqrt{2}\frac{{\sqrt{{k^2}+1}}}{{{k^2}+2}}$…（12分）
=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{（{{k^2}+2}）}^2}}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{[{（{{k^2}+1}）+1}]}^2}}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{{（{{k^2}+1}）}^2}+2（{{k^2}+1}）+1}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{{（{{k^2}+1}）+\frac{1}{{{k^2}+1}}+2}}}$$≤\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2+2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$（当且仅当${k^2}+1=\frac{1}{{{k^2}+1}}$，即k=0时等号成立），所以△AOB面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．…．（14分）
说明：若设直线l的方程为：y=k（x+1）（k≠0），则$x=\frac{1}{k}y-1$，与$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$联立，消x，整理得：$（{\frac{1}{k^2}+2}）{y^2}-\frac{2}{k}y-1=0$，$△=\frac{8}{k^2}+8＞0$，
所以${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}O{F_1}|{{y_1}-{y_2}}|$=$\frac{1}{2}|{{y_1}-{y_2}}|$=$\sqrt{2}\frac{{\sqrt{\frac{1}{k^2}+1}}}{{\frac{1}{k^2}+2}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{{\frac{1}{k^2}+1}}{{{{[{（{\frac{1}{k^2}+1}）+1}]}^2}}}}$=$\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{{（{\frac{1}{k^2}+1}）+\frac{1}{{\frac{1}{k^2}+1}}+2}}}$$≤\sqrt{2}\sqrt{\frac{1}{2+2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
当且仅当${k^2}+1=\frac{1}{{{k^2}+1}}$，即k=0时等号成立，由k≠0，则${S_{△AOB}}＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
当直线l的方程为：x=-1时，此时$|{AB}|=\frac{{2{b^2}}}{a}=\sqrt{2}$，${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}|{O{F_1}}||{AB}|=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
综上所述：△AOB面积的最大值为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，基本不等式在最值中的应用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．