Question

13．已知椭圆$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）与直线y=b相交于A、B两点，O是坐标原点，如果△AOB是等边三角形，则该椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 令y=b，代入椭圆方程，可得AB的长，再由等边三角形的高与边长的关系，结合离心率公式，即可计算得到．

解答 解：令y=b，代入椭圆方程可得x²=b²（1-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$），
即有x=±$\frac{b}{a}$$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=±$\frac{bc}{a}$，
即有|AB|=$\frac{2bc}{a}$，
由△AOB是等边三角形，
则有b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2bc}{a}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选B．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率的求法，属于基础题．