Question

9．已知函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{{{log}_2}（x+1），x＞1}\\{x-1，x≤1}\end{array}}$，若关于x的方程f[f（x）]=a有解，则实数a的取值范围是（-∞，-1]∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 等价于方程f（t）=a①有解且f（x）=t②也要有解，分别可得a的范围，综合可得．

解答 解：由题意知：当x＞1时，f（x）=log₂（x+1）∈（1，+∞），
当x≤1时，f（x）=x-1∈（-∞，0]，
f（x）图象如下：

令f（x）=t，则方程f[f（x）]=a有解
等价于方程f（t）=a①有解且f（x）=t②也要有解，
由方程①有解可得a≤0或a＞1，
由方程②有解则①的解t满足t≤0或t＞1，
所以a≤-1或a＞1，
综上可得a≤-1或a＞1，
故答案为：（-∞，-1]∪（1，+∞）

点评 本题考查函数的零点，等价转化是解决问题的关键，属基础题．