Question

10．已知等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，公差为2，且a₁，a₂，a₄依次构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式与S_n
（2）数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过a₁，a₂，a₄依次构成等比数列，计算即得结论；
（2）通过分离分母可得b_n=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵等差数列{a_n}的公差为2，
∴a₂=2+a₁，a₄=2×3+a₁，
又∵a₁，a₂，a₄依次构成等比数列，
∴（2+a₁）²=a₁（2×3+a₁），
解得a₁=2，
∴a_n=2n，S_n=2×$\frac{n（n+1）}{2}$=n（n+1）；
（2）∵S_n=n（n+1），∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

点评 本题考查等差数列的通项、前n项和，考查并项相加法，分离分母是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．