Question

19．P是圆x²+y²=4上任意一点，P在x轴上的射影为M点，N是PM的中点，点N的轨迹为曲线C，曲线C₁的方程为：
x²=8（y-m）（m＞0）
（1）求轨迹C的方程；
（2）若曲线C与曲线C₁只有一个公共点，求曲线C₁的方程；
（3）在（2）的条件下，求曲线C和曲线C₁都只有一个交点的直线l方程．

Answer 1

分析 （1）设出N的坐标，利用中点坐标公式求出P点的坐标，代入圆的方程后整理即可得到答案；
（2）将（0，1）代入x²=8（y-m），可得m=1，即可求曲线C₁的方程；
（3）在（2）的条件下，可得曲线C和曲线C₁都只有一个交点的直线l方程．

解答 解：（1）设N（x，y），则由中点坐标公式得P（x，2y），
因为P是圆x²+y²=4上任意一点，
所以x²+4y²=4，
整理得，$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（2）将（0，1）代入x²=8（y-m），可得m=1，
所以曲线C₁的方程为x²=8（y-1）；
（3）在（2）的条件下，设与曲线C和曲线C₁都只有一个交点的直线l方程为y=kx+m；
分别与C的方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$以及曲线C₁的方程x²=8（y-1）联立，得到：
2k²+m-1=0和4k²-m²+1=0；
解得m=1或-3；
当m=1时，k=0，
当m=-3时，k=±$\sqrt{2}$；
所以：
与曲线C和曲线C₁都只有一个交点的直线l方程为：y=1或y=±$\sqrt{2}$x-3．

点评 本题考查了轨迹方程问题，考查了代入法求轨迹方程，是中档题．