Question

14．设命题p：函数3x²-a≤0在区间[-1，1]上恒成立，命题q：函数y=x²-ax+1的最小值不大于0．如果命题p或q为真命题，p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出p，q为真命题时a的范围，再根据命题p或q为真命题，p且q为假命题，得到p和q一真一假，分类讨论即可．

解答 解：因为命题p或q为真命题，p且q为假命题，
所以p和q一真一假，
若p为真命题，函数3x²-a≤0在区间[-1，1]上恒成立，即a≥3x²，在区间[-1，1]上恒成立，所以a≥3，则￢p为a＜3，
若q为真命题，函数y=x²-ax+1的最小值不大于0，则△=a²-4≥0恒成立，解得a≥2，或a≤-2，则￢q为-2＜a＜2，
因为命题p或q为真命题，p且q为假命题，
所以p和q一真一假，
当p真q假时，则$\left\{\begin{array}{l}{a≥3}\\{-2＜a＜2}\end{array}\right.$，解得a∈∅，
当p假q真时，则$\left\{\begin{array}{l}{a＜3}\\{a≤-2，或a≥2}\end{array}\right.$，解得a≤-2，或2≤a＜3，
综上所述，a的范围为（-∞，-2]∪[2，3）

点评 本题以复合命题的真假判断为载体考查了不等式恒成立问题，考查根据基本不等式求最值，属于一道中档题．