Question

2．（1）已知log₁₄2=a，用a表示${log_{\sqrt{2}}}$7．
（2）已知sin（3π+α）=2sin（$\frac{3π}{2}$+α），求$\frac{sinα-4cosα}{5sinα+2cosα}$的值．

Answer 1

分析 （1）由对数换底公式得${log_{\sqrt{2}}}$7=2（log₂14-log₂2）．结合已知即可得解．
（2）由诱导公式化简已知等式可得tan α=2．由直接代入法或同除转化法即可得解．

解答 本小题满分（12分），毎小问（6分）．
解：（1）由对数换底公式得：${log_{\sqrt{2}}}7=\frac{{{{log}_2}7}}{{{{log}_2}\sqrt{2}}}=2{log_2}7=2（{log_2}14-{log_2}2）$
=2（$\frac{1}{a}-1$）=$\frac{2（1-a）}{a}$．…（6分）
（2）∵sin（3π+α）=2sin（$\frac{3π}{2}$+α），
∴-sin α=-2cos α．…（2分）
∴sin α=2cos α，即tan α=2．…（3分）
方法一　（直接代入法）：
原式=$\frac{2cosα-4cosα}{5×2cosα+2cosα}$=-$\frac{1}{6}$．…（6分）
方法二　（同除转化法）：
原式=$\frac{tanα-4}{5tanα+2}$=$\frac{2-4}{5×2+2}$=-$\frac{1}{6}$．…（6分）

点评 本题主要考查了对数的运算，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．