Question

12．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）及内部面积为S=πab，A₁，A₂是长轴的两个顶点，B₁，B₂是短轴的两个顶点，在椭圆上或椭圆内部随机取一点 P，给出下列命题：
①△PA₁A₂为钝角三角形的概率为1；
②△PB₁B₂为钝角三角形的概率为$\frac{b}{a}$；
③△PA₁A₂为钝角三角形的概率为$\frac{b}{a}$； 
④△PB₁B₂为锐角三角形的概率为$\frac{a-b}{a}$．
其中正确的命题有①②④．（填上你认为所有正确的命题序号）

Answer 1

分析 分别以短轴两个顶点为直径的两个端点作圆O，以长轴两个顶点为直径的两个端点作圆O′，利用几何概型概率的计算公式，数形结合即得结论．

解答 解：如图，以短轴两个顶点为直径的两个端点作圆O，
则圆O的面积为：πb²．
易得当点P位于圆O内（含边界）时，△PB₁B₂为钝角三角形，
∴△PB₁B₂为钝角三角形的概率为：$\frac{π{b}^{2}}{πab}$=$\frac{b}{a}$，
当点P位于圆O外、椭圆内（含边界）时，△PB₁B₂为锐角三角形，
∴△PB₁B₂为锐角三角形的概率为：1-$\frac{π{b}^{2}}{πab}$=1-$\frac{b}{a}$=$\frac{a-b}{a}$，
以长轴两个顶点为直径的两个端点作圆O′，
则在椭圆上或椭圆内部随机取一点P，△PA₁A₂为钝角三角形，
∴△PA₁A₂为钝角三角形的概率为1，
故答案为：①②④．

点评 本题以椭圆为载体，考查几何概型概率的计算，注意解题方法的积累，属于中档题．