Question

2．分别以一个直角三角形的斜边，两直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，画出它们的三视图和直观图，并探讨它们体积之间的关系．

Answer 1

分析 如图所示三视图和直观图，其体积分别为：V_a=$\frac{1}{3}π{a}^{2}b$，V_b=$\frac{1}{3}π{b}^{2}a$，V_c=$\frac{1}{3}π•\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{c}$．不妨设c＞a≥b，可得a²b≥ab²＞$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{c}$，即可得出大小关系．

解答 解：如图所示，
（1）分别以直角边a，b所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，它们的三视图和直观图，其体积分别为：V_a=$\frac{1}{3}π{a}^{2}b$，V_b=$\frac{1}{3}π{b}^{2}a$．
（2）以一个直角三角形的斜边c所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成三个几何体，它们的三视图和直观图，V_c=$\frac{1}{3}π（\frac{ab}{c}）^{2}•c$=$\frac{1}{3}π•\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{c}$．

（3）不妨设c＞a≥b，
则a²b≥ab²＞$\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{c}$，
∴V_a≥V_b＞V_c．

点评 本题考查了圆锥的三视图及其直观图、圆锥体积计算公式、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．