Question

7．已知b，c∈R，函数f（x）=x²+bx+c，方程f（x）-x=0的两个实根为x₁，x₂，且x₂-x₁＞2，若四次方程f（f（x））=x的另两个根为x₃，x₄（其中x₃＜x₄），则（　　）

• A． x₁＜x₂＜x₃＜x₄
• B． x₃＜x₁＜x₄＜x₂
• C． x₁＜x₃＜x₄＜x₂
• D． x₁＜x₃＜x₂＜x₄

Answer 1

分析 由题意把两根是x₁，x₂代入方程求出f（x），设t=（x-x₁）（x-x₂）代入f（x），化简f（f（x））-x后求出f（f（x））=x，利用条件和韦达定理得x₃+x₄=x₁+x₂-2，根据不等式的性质和作差法分别判断出四个根的大小关系．

解答 解：由题意知，f（x）-x=0的两根是x₁，x₂，
则f（x）-x=（x-x₁）（x-x₂），即f（x）=x+（x-x₁）（x-x₂），
t=（x-x₁）（x-x₂），则f（x）=x+t，
所以f（f（x））-x=f（x）+[f（x）-x₁][f（x）-x₂]-x
=x+t+（x-x₁+t）（x-x₂+t）-x
=t²+（2x-x₁-x₂+2）t
由f（f（x））-x=0得，t=0或t+2x-x₁-x₂+2=0，
所以（x-x₁）（x-x₂）+2x-x₁-x₂+2=0，
则x²-（x₁+x₂-2）x+x₁x₂-（x₁+x₂-2）=0，
所以x₃、x₄是上述方程的解，则x₃+x₄=x₁+x₂-2，
因为x₂-x₁＞2，所以x₂＞x₁，x₁＜x₂+2，
又x₃＜x₄，所以2x₃＜x₃+x₄=x₁+x₂-2＜2x₂，则x₃＜x₂，
同理可得，2x₄＞x₃+x₄=x₁+x₂-2＞2x₁，则x₄＞x₁，
因为x₂-x₄＞x₃-x₄，x₃-x₄＜0，所以x₂＞x₄，
同理可得，x₁-x₃＞x₄-x₃，x₄-x₃＞0，所以x₁＞x₃，
所以x₂＞x₄＞x₁＞x₃，
故选：B．

点评 本题考查了二次方程的根，韦达定理，以及作差法比较大小，考查利用换元法进行变形能力，属于中档题．