Question

12．如图，在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=4，|$\overrightarrow{AC}$|=2，∠BAC=90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB上的点且$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，则$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的值为$\frac{11}{2}$．

Answer 1

分析 以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴，建立直角坐标系，即有A（0，0），B（0，4），C（2，0），设D（a，b），E（c，d），F（e，f），由向量共线的坐标表示，解方程可得D，E，F，再由向量的数量积的坐标表示，计算即可得到．

解答 解：以A为坐标原点，AB，AC所在直线为y，x轴，建立直角坐标系，
即有A（0，0），B（0，4），C（2，0），设D（a，b）
E（c，d），F（e，f），
由$\overrightarrow{CE}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{AF}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BD}$=$\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}$，则（c-2，d-0）=$\frac{1}{4}$（-2，0），
（e，f）=$\frac{1}{4}$（0，4），（a，b-4）=$\frac{1}{4}$（2，-4），
解得D（$\frac{1}{2}$，3），E（$\frac{3}{2}$，0），F（0，1），
即有$\overrightarrow{DE}$=（1，-3），$\overrightarrow{DF}$=（-$\frac{1}{2}$，-2），
则$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=1×（-$\frac{1}{2}$）+（-3）×（-2）=$\frac{11}{2}$．
故答案为：$\frac{11}{2}$．

点评 本题考查向量的数量积的坐标表示，主要考查向量共线的坐标运算，注意运用坐标法是解题的关键．