Question

2．已知函数f（x）=ax²+2x-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x₀，求a的取值范围；
（Ⅲ）若a∈（-$\frac{1}{2}$，0），设g（x）=a（1-x）²-2x-1-ln（1-x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x₁，且对（Ⅱ）中的x₀，满足x₀+x₁＞1．

Answer 1

分析 解法一：（Ⅰ）当a=4时，化简函数的解析式，求出定义域，函数的导数，求出极值点，利用导函数的符号判断函数的单调性，求解极值即可．
（Ⅱ）利用$f'（x）=2ax+2-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+2x-1}}{x}$，通过导函数为0，构造新函数，通过分类讨论求解即可．
（Ⅲ）设t=1-x，则t∈（0，1），得到p（t），求出函数的导数$p'（t）=2at+2-\frac{1}{t}=\frac{{2a{t^2}+2t-1}}{t}$，通过方程2at²+2t-1=0在（0，1）内有唯一的解x₀，利用导数判断单调性，然后求解证明．
解法二：（Ⅰ）同解法一；
（Ⅱ）求出$f'（x）=2ax+2-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+2x-1}}{x}$，通过f′（x）=0，推出$a=\frac{1}{{2{x^2}}}-\frac{1}{x}$，设$m=\frac{1}{x}$，则m∈（1，+∞），问题转化为直线y=a与函数$h（m）=\frac{1}{2}{（m-1）^2}-\frac{1}{2}$的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
求解证明即可．
（Ⅲ）同解法一．

解答 满分（14分）．
解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x²+2x-lnx，x∈（0，+∞），$f'（x）=8x+2-\frac{1}{x}=\frac{{8{x^2}+2x-1}}{x}=\frac{（4x-1）（2x+1）}{x}$．…（1分）
由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得$x=\frac{1}{4}$．
当x变化时，f′（x），f（x）的变化如下表：

x	$（0，\frac{1}{4}）$	$\frac{1}{4}$	$（\frac{1}{4}，+∞）$
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

故函数f（x）在$（0，\frac{1}{4}）$单调递减，在$（\frac{1}{4}，+∞）$单调递增，…（3分）f（x）有极小值$f（\frac{1}{4}）=\frac{3}{4}+ln4$，无极大值．…（4分）
（Ⅱ）$f'（x）=2ax+2-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+2x-1}}{x}$，
令f′（x）=0，得2ax²+2x-1=0，设h（x）=2ax²+2x-1．
则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x₀等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x₀
当a=0时，方程的解为$x=\frac{1}{2}$，满足题意；…（5分）
当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴$x=-\frac{1}{2a}＜0$，函数h（x）在（0，1）上单调递增，
且h（0）=-1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）
当a＜0，△=0时，$a=-\frac{1}{2}$，此时方程的解为x=1，不符合题意；
当a＜0，△≠0时，由h（0）=-1，
只需h（1）=2a+1＞0，得$-\frac{1}{2}＜a＜0$．…（7分）
综上，$a＞-\frac{1}{2}$．…（8分）
（说明：△=0未讨论扣1分）
（Ⅲ）设t=1-x，则t∈（0，1），p（t）=g（1-t）=at²+2t-3-lnt，…（9分）$p'（t）=2at+2-\frac{1}{t}=\frac{{2a{t^2}+2t-1}}{t}$，
由$a∈（-\frac{1}{2}，0）$，故由（Ⅱ）可知，
方程2at²+2t-1=0在（0，1）内有唯一的解x₀，
且当t∈（0，x₀）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x₀，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）
又p（1）=a-1＜0，所以p（x₀）＜0．…（12分）
取t=e^-3+2a∈（0，1），
则p（e^-3+2a）=ae^-6+4a+2e^-3+2a-3-lne^-3+2a=ae^-6+4a+2e^-3+2a-3+3-2a=a（e^-6+4a-2）+2e^-3+2a＞0，
从而当t∈（0，x₀）时，p（t）必存在唯一的零点t₁，且0＜t₁＜x₀，
即0＜1-x₁＜x₀，得x₁∈（0，1），且x₀+x₁＞1，
从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x₁，满足x₀+x₁＞1．…（14分）
解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）
（Ⅱ）$f'（x）=2ax+2-\frac{1}{x}=\frac{{2a{x^2}+2x-1}}{x}$，
令f′（x）=0，由2ax²+2x-1=0，得$a=\frac{1}{{2{x^2}}}-\frac{1}{x}$．…（5分）
设$m=\frac{1}{x}$，则m∈（1，+∞），$a=\frac{1}{2}{m^2}-m=\frac{1}{2}{（m-1）^2}-\frac{1}{2}$，…（6分）
问题转化为直线y=a与函数$h（m）=\frac{1}{2}{（m-1）^2}-\frac{1}{2}$的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．
又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）
故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当$a＞-\frac{1}{2}$．…（8分）
（Ⅲ）同解法一．
（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）

点评 本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．