Question

12．已知F₁，F₂是椭圆上的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，则这个椭圆的离心率是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 直接利用椭圆的通经与焦距的关系，求解即可．

解答 解：F₁，F₂是椭圆上的两个焦点，过F₁且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，若△ABF₂是正三角形，
可得$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{2{b}^{2}}{a}=2c$，即$\sqrt{3}{b}^{2}=2ac$，
$\sqrt{3}{（a}^{2}-{c}^{2}）=2ac$，
即：$\sqrt{3}（1-{e}^{2}）=2e$，
解得e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查椭圆的简单性质的应用，基本知识的考查．