Question

1．设二次函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R）的导函数为f′（x），关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等 实根，则$\frac{{b}^{2}}{1+{c}^{2}}$的最大值为（　　）

• A． 2$\sqrt{2}$-2
• B． 2$\sqrt{2}$+2
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由f（x）=f′（x）化为：x²+（b-2）x+c-b=0，由于关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等实数根，可得△=0，可得$c=\frac{{b}^{2}+4}{4}$，代入$\frac{{b}^{2}}{1+{c}^{2}}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：f′（x）=2x+b，f（x）=f′（x）化为：x²+（b-2）x+c-b=0，
∵关于x的方程f（x）=f′（x）有两个相等实数根，
∴△=（b-2）²-4（c-b）=0，
化为$c=\frac{{b}^{2}+4}{4}$，
∴$\frac{{b}^{2}}{1+{c}^{2}}$=$\frac{{b}^{2}}{1+\frac{（{b}^{2}+4）^{2}}{16}}$=$\frac{16}{{b}^{2}+\frac{32}{{b}^{2}}+8}$≤$\frac{16}{2\sqrt{{b}^{2}•\frac{32}{{b}^{2}}}+8}$=2$\sqrt{2}$-2，当且仅当b²=4$\sqrt{2}$，c=$\sqrt{2}$+1时取等号．
∴$\frac{{b}^{2}}{1+{c}^{2}}$的最大值为$2\sqrt{2}$-2．
故选：A．

点评 本题考查了导数的运算法则、一元二次方程有实数根与判别式的关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．