Question

13．已知命题p：实数t满足t²-5at+4a²＜0（其中a≠0），命题q：方程$\frac{{x}^{2}}{t-2}+\frac{{y}^{2}}{t-6}=1$表示双曲线
（1）若a=1，且p∧q为真命题，求实数t的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若a=1，分别求出p，q成立的等价条件，利用p∧q为真命题，即可求实数t的取值范围；
（2）利用p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）若a=1，则不等式为t²-5t+4＜0，即1＜t＜4，
p：t∈（1，4），
若方程$\frac{{x}^{2}}{t-2}+\frac{{y}^{2}}{t-6}=1$=1表示双曲线，
则（t-2）（t-6）＜0，即2＜t＜6．
q：t∈（2，6），
若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，
即$\left\{\begin{array}{l}{1＜t＜4}\\{2＜t＜6}\end{array}\right.$，解得2＜t＜4，
则实数t的取值范围{t|2＜t＜4}．
（2）若t²-5at+4a²＜0（其中a≠0），
则（t-a）（t-4a）＜0，
若a＞0，则得a＜t＜4a，
若a＜0，则4a＜t＜a，
∵q：t∈（2，6），
∴若p是q的必要不充分条件，
则当a＞0时，$\left\{\begin{array}{l}{4a≥6}\\{a≤2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥\frac{3}{2}}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得$\frac{3}{2}$≤a≤2，
若a＜0，则不满足条件．
即实数a的取值范围是[$\frac{3}{2}$，2]．

点评 本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，