Question

17．已知两点F₁（-1，0），F₂（1，0），点P在以F₁，F₂为焦点的椭圆C，且|PF₁|，|F₁F₂|，|PF₂|构成等差数列．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，动直线l：y=kx+m（|k|≤1）（m＞0）与椭圆C有且仅有一个公共点，点M，N是直线l上的两点，且F₁M⊥l，F₂N⊥l，当|F₁M|+|F₂N|最大时，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）依题意，设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，c=1．再利用|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列，即可得到a，利用b²=a²-c²得到a即可得到椭圆的方程；
（2）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程3x²+4y²=12中，得到关于x的一元二次方程，由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=0，即可得到m，k的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到|F₁M|+|F₂N|，利用|F₁M|+|F₂N|最大时，即可求直线l的方程．

解答 解：（Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）．
∵|PF₁|、|F₁F₂|、|PF₂|构成等差数列，
∴2a=|PF₁|+|PF₂|=2|F₁F₂|=4，a=2．
又∵c=1，∴b²=3．∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$…（4分）
（Ⅱ）将直线l的方程y=kx+m代入椭圆C的方程中，得
（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0．                
由直线l与椭圆C仅有一个公共点知，△=64k²m²-4（4k²+3）（4m²-12）=0，
化简得：m²=4k²+3．     …（6分）
设坐标原点到动直线L的距离为d，则
2d=|F₁M|+|F₂N|=2$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}}$…（8分）
=2$\sqrt{4-\frac{1}{1+{k}^{2}}}$，
∵k²≤1，∴k²=1时，|F₁M|+|F₂N|最大
此时m=$\sqrt{7}$．
故所求直线方程为y=-x+$\sqrt{7}$或y=x+$\sqrt{7}$…（12分）

点评 本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、等差数列等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．