Question

9．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，一个焦点与抛物线y²=4x的焦点重合，直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为坐标原点，k_OA•k_OB=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$，判断△AOB的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得c=1，再由离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）将直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及直线的斜率公式，结合点到直线的距离公式，化简整理，即可得到三角形ABO的面积为定值．

解答 解：（1）抛物线y²=4x的焦点为（1，0），则椭圆的c=1，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$．，可得a=2，
又b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
y=kx+m代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0，
△=64m²k²-16（3+4k²）（m²-3）＞0，可得m²＜3+4k²，
x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²
=$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$，
由k_OA•k_OB=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$，即y₁y₂=-$\frac{3}{4}$x₁x₂，
即$\frac{3（{m}^{2}-4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$•$\frac{4（{m}^{2}-3）}{3+4{k}^{2}}$，
化简可得2m²=3+4k²，满足△＞0，
由弦长公式可得|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{48（4{k}^{2}-{m}^{2}+3）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$=$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$，
又O到直线l的距离为d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
则S_△ABO=$\frac{1}{2}$d•|AB|=$\frac{1}{2}$$\sqrt{\frac{24（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$•$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{6{m}^{2}}{3+4{k}^{2}}}$
=$\sqrt{\frac{3（3+4{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}}$=$\sqrt{3}$．
故△AOB的面积为定值$\sqrt{3}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理和弦长公式，同时考查直线的斜率公式以及化简整理的运算能力，属于中档题．