Question

13．已知等比数列{a_n}的各项都为正数，若a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=1，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$=10，则a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=$\frac{1}{1000}$．

Answer 1

分析 设等比数列的公比为q，由求和公式可得$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=1，$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{6}}）}{1-\frac{1}{q}}$=10，两式相除化简可得a₁²•q⁵=$\frac{1}{10}$．而a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=（a₁²•q⁵）³，代值计算可得．

解答 解：设等比数列的公比为q，则q＞0，
∵a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=1，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+$\frac{1}{{a}_{4}}$+$\frac{1}{{a}_{5}}$+$\frac{1}{{a}_{6}}$=10，故q≠1，
∴$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{6}）}{1-q}$=1，$\frac{\frac{1}{{a}_{1}}（1-\frac{1}{{q}^{6}}）}{1-\frac{1}{q}}$=10，
两式相除可得$\frac{{{a}_{1}}^{2}（1-{q}^{6}）（1-\frac{1}{q}）}{（1-q）（1-\frac{1}{{q}^{6}}）}$=$\frac{1}{10}$
化简可得a₁²•q⁵=$\frac{1}{10}$．
∴a₁•a₂•a₃•a₄•a₅•a₆=a₁⁶•q¹⁵=（a₁²•q⁵）³=$\frac{1}{1000}$
故答案为：$\frac{1}{1000}$．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题．