Question

5．如图$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$不共线，P点在AB上，求证：存在实数λ，μ且λ+μ=1，使$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$．思考：有本题你想到了什么？（用向量证明三点共线）

Answer 1

分析 根据条件三点A，B，P共线，从而存在实数k，使得$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$，从而可得到$\overrightarrow{OP}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$，只需令λ=1-k，μ=k，便可得到$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，并且满足λ+μ=1，这样即可得出要证的结论．

解答 证明：∵A，B，P三点共线；
∴存在实数k，使$\overrightarrow{AP}=k\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}=k（\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}）$；
∴$\overrightarrow{OP}=（1-k）\overrightarrow{OA}+k\overrightarrow{OB}$；
令λ=1-k，μ=k；
∴$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，且λ+μ=1；
∴存在实数λ，μ且λ+μ=1，使$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$；
由本题想到：若存在实数λ，μ，λ+μ=1，使$\overrightarrow{OP}=λ\overrightarrow{OA}+μ\overrightarrow{OB}$，则A，B，P三点共线．

点评 考查共线向量基本定理，向量的减法和数乘运算，并且能够看出，证明过程逆回去便得到三点共线，这便是用向量证明三点共线的方法．