Question

15．已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，P是椭圆上一点，且△PF₁F₂面积的最大值等于2．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线y=2上是否存在点Q，使得从该店向椭圆所引的两条切线互相垂直？若存在求点Q的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆性质列出a，b，c的方程，其中离心率e=$\frac{c}{a}$，分析图形知道当点P在短轴端点时，△PF1F2 面积取最大值，从而建立关于a，b，c的方程，解出a²，b²，c²，即求出椭圆的标准方程．
（2）对于存在性问题，要先假设存在，先设切线y=k（x-m）+2，与椭圆联立，利用△=0，得出关于斜率k的方程，利用两根之积公式k₁k₂=-1，求出Q点坐标．

解答 解：（1）∵点P在椭圆上，∴-b≤y_p≤b，
∴当|y_p|=b时，△PF₁F₂面积最大，
且最大值为$\frac{1}{2}•2c•b$-bc=2，
又∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴a²=4，b²=c²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）假设直线y=2上存在点Q满足题意，
设Q（m，2），当m=±2时，从Q点所引的两条切线不垂直．
当m≠±2时，设过点Q向椭圆所引的切线的斜率为k，则l的方程为y=k（x-m）+2，
代入椭圆方程，消去y，整理得：（1+2k²）x²-4k（mk-2）x+2（mk-2）²-4=0，
∵△=16k²（mk-2）²-4（1+2k²）[2（mk-2）²-4]=0，
∴（m²-4）k²-4mk+2=0，*
设两条切线的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁，k₂是方程（m²-4）k²-4mk+2=0的两个根，
∴k₁k₂=$\frac{2}{{m}^{2}-4}$=-1，
解得m=±$\sqrt{2}$，点Q坐标为（$\sqrt{2}$，2），或（-$\sqrt{2}$，2）．
∴直线y=2上两点（$\sqrt{2}$，2），（-$\sqrt{2}$，2）满足题意．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的判断，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，分类讨论要全面．