Question

6．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=4，AD=2，A₁A=2，则直线BC₁到平面D₁AC的距离为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 利用线面平行的判定定理，判断直线BC₁∥平面ACD₁，直线BC₁到平面D₁AC的距离即为点B到平面D₁AC的距离，利用等体积，即可求出直线BC₁到平面D₁AC的距离．

解答 解：∵几何体为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，
∴AB∥C₁D₁，AB=C₁D₁，
∴AD₁∥BC₁，
∵AD₁?平面ACD₁，BC₁?平面ACD₁，
∴直线BC₁∥平面ACD₁；
直线BC₁到平面D₁AC的距离即为点B到平面D₁AC的距离设为h，
考虑三棱锥ABCD₁的体积，以ABC为底面，可得V=$\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×1×2）×1$=$\frac{1}{3}$，
而D₁AC中，AC=D₁C=$\sqrt{5}$，D₁A=$\sqrt{2}$，故${S}_{△A{D}_{1}C}$=$\frac{3}{2}$．
∴$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}h=\frac{1}{3}$，
∴h=$\frac{2}{3}$，即直线BC₁到平面D₁AC的距离为$\frac{2}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查了线面平行的判定，利用等体积求点到平面的距离，属于中档题．